گروه یک ساختار جبری بر روی یک گروه ناتهی است که نسبت به یک عمل دوتایی بسته باشد و نسبت به آن عمل دارای خاصیت شرکت پذیری باشد. هم چنین وجود عنصر همانی و عنصر عکس در این ساختار الزامیست. به موجب این تعریف:
اگر G مجموعه ناتهی و ο عملی دوتایی روی G باشد، آن‌گاه (G,ο) را یک گروه می‌نامیم اگر شرایط زیر برقرار باشد:

  1. برای هر a ο b ∈ G، a,b ∈ G. (بسته بودن G نسبت به عمل ο)
  2. برای هر a ο (b ο c) = (a ο b) ο c ، a,b,c ∈ G. (ویژگی شرکت پذیری)
  3. برای هر a ∈ G، یک e∈G وجود دارد که a ο e = e ο a = a. (وجود عنصر همانی)
  4. برای هر a ∈ G، یک b∈G وجود دارد که a ο b = b ο a = e. (وجود عنصر عکس)

گروه چهارتایی کلاین دارای چهار عضو a و b و c و e است. که e عضو همانی است. ضرب اعضای آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

ea = ae = a و eb = be = b و ec = ce = c و ee = e و a۲ = b۲ = c۲ = e و ab = ba = c و ac = ca = b و bc = cb = a

جدول ضرب گروه 4-کلاین به صورت زیر است:

*
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e

  گروه 4-کلاین یک گروه آبلی است.زیرا نسبت به قطر اصلی متقارن است(طبق جدول )

اما اثبات خاصیت شرکت پذیری آن کار راحتی نیست در اینجا باید 216=6³  معادله به صورت  (a*b)*c=a*(b*c) را مورد بررسی قرار داد که کار دشواری است.ما می‌توانیم با یک برنامه کامپیوتری و تبدیل این جدول ضرب به ماتریس و تبدیل اعضا گروه به اعداد طبیعی (e=1,a=2,b=3,c=4) خاصیت شرکت پذیری را بررسی کرد.

برنامه زیر نه برای گروه ۴ کلاین، بلکه برای تمامی گروه‌ها این خاصیت را بررسی می کند.
دانلود برنامه

منبع : مبانی نظریه گروه‌ها

 

پ.ن: عید غدیر خم هم بر همه مبارک باد!